几何画板解析2017年黑龙江省哈尔滨中考倒一(函数相关)
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(2017·哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x-3经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.
【图文解析】
(1)求解抛物线解析式作为后续解题的基础,鼓励学生在此求出三种表达式,并熟悉抛物线特性.
l y=x2-2x+3 与y轴交点坐标;
l y=(x+1)(x-3) 与x轴交点坐标;
l y=(x-1) 2-4 顶点坐标与对称轴.
(2)从条件入手分析,思考常用方法:
1) 动点:确定取值范围(直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧),明确主从关系,由主动点P求出其它从动点坐标.
P(t,t2-2t+3) →E(t,0),F(t,-3),M(t,t-3).
2) 多个垂直关系带来什么?
l 一个垂直→ 90°,三线合一,高线(面积)
l 两个垂直→ + 角平分线性质(全等),一线三等角(相似)
l 三个垂直 → + 矩形
【反思】解析几何的问题通常都要与垂直打交道,平时多加总结是非常有必要的。
(3)在(2)的基础上,也暗示着(2)的结论将用于第(3)小题(线段MN的长依赖于t,那么线段MN的相关属性都成为了与本题无关的条件了).
同时,在(2)的基础上再行做图,使得图形趋于复杂,解题过程应先排除干扰简化图形,找到基本模型.
图形的复杂化,往往是一障眼法,抓住特殊图形(正方形)就能还原其本质.
相等线段的应用,一是几何上的相等,二是代数上的相等.
从参数标志可以看到,你最该关注的是CS这一线段及T这一中点.确定了它也就确定了最终的答案.
(人教版教材九年级上学期第23章)图形的旋转一节中的典例正是它的基本模型.
“正方形内,遍地垂直,处处全等.”
【反思】本小题看似复杂,实则单一,找住关键条件,熟悉基本模型即可做到抽丝剥茧.
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